رابطه فوق بیانگر اینست که به طور مجانبی برای ، می‌باشد. نیز دارای ارزش اولیه صفر می باشد.
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
در ادامه فرض کرده یک مجموعه متشکل از سهم ( ) تعریف شود. به طوریکه قیمت هر سهم به صورت رابطه بعدی نشان داده می‌شود:
می‌توان رابطه فوق را به صورت دیفرانسیل نشان داد:
لذا می‌توان بازار را که یک مجموعه متشکل از سهم می‌باشد را به صورت زیر و با نماد تعریف نمود:
در این مرحله، وان بر اساس مطالعات محققینی مانند کاراتزاس و شریو[۷۵](۱۹۹۱)، دوفی[۷۶](۱۹۹۲) و کاراتزاس و کو[۷۷](۱۹۹۶)، سبد دارایی را به صورت زیر بیان می کند:
یک سبد دارایی ( ) در بازار ( ) فرآیندی است، قابل اندازه گیری ( )، بطوریکه رابطه بعدی را برقرار می کند:
فرایند نسبت یا وزن مخصوص هر سهم را در سبد دارایی نشان می‌دهد. توجه شود که نشانگر نسبت تعداد سهم به ارزش سبد دارایی می‌باشد. فرض کنید که یک ارزش مثبت سرمایه گذاری در در زمان را نشان می‌دهد. بنابراین میزان سرمایه گذاری شده در امین سهم برابر خواهد بود با:
اگر قیمت به اندازه تغییر کند، تغییر ایجاد شده در ارزش سبد دارایی برابر خواهد بود با:
بنابراین تغییر کل در ارزش سبد دارایی در زمان برابر است با:
یا به طور معادل خواهیم داشت:
بنابراین درصد تغییرات ارزش سبد دارایی بازار در زمان تابعی از درصد تغییرات قیمت هر سهم خواهد بود که دارای رفتاری تصادفی می‌باشد. البته بایستی به این نکته اشاره کرد که نظریه سبد دارایی تصادفی از جنبه های گوناگون از ریاضیات مالی سنتی متفاوت است. استفاده از چارچوب سبد دارایی تصادفی به طور خاص برای آنالیز پیشامدهای بلند مدت یا مجانبی ارزشمند است. در ادامه جهت بررسی دقیق‌تر ویژگی رفتار بازار سهام مباحث نظری مورد نیاز برآورد یک تابع توزیع مشخص و استخراج چنین تابعی مورد بررسی و ارزیابی قرار خواهد گرفت.
۳-۳-چارچوب نظری برآورد تابع توزیع کستینگ[۷۸]
در این بخش از مطالعه سعی بر آن است، اصول و روش شناسی علم فیزیک را در چارچوب تجزیه و تحلیل اتفاقات و رخ دادهای محیط پیرامونی، به علم اقتصاد در جهت تبیین بخش از ویژگی های یکی از مهمترین بازارها، تحت عنوان بازار سهام پیوند داده شود. لذا بعد از بیان مقدماتی، ابتدا تابع توزیع کولموگروف و استنتاج بیزی مورد بحث قرار خواهند گرفت. سپس شکل تابعی توزیع کستینگ ارائه خواهد شد.
۳-۳-۱-مقدمه
امروزه بررسی سیستم‌های پیچیده مورد توجه بسیاری از علوم قرار گرفته است. این امر به طور عمیق ریشه در پیشرفت‌های علمی در زمینه های مختلف همچون فیزیک، ریاضیات، آمار، اقتصاد، مالی و سایر علوم دارد. صاحب نظران با وجود پیچیدگی و تنوع سیستم‌ها بر این اعتقادند که مجموعه قوانین کلی و یکسانی بر تمام سیستم‌های پیچیده طبیعی و بشری حاکم می‌باشد. به طور مثال در قوانین مکانیکی می‌توان به وجود جنبش و در علم زیست شناسی به وجود مکانیزم‌های مولکولی و سلولی رایج موجودات زنده به عنوان قوانین جامع اشاره نمود. امروزه برای بررسی سیستم پیچیده بازار سهام، نیاز به بکار گیری مدل‌های نوین به شدت احساس می‌شود.[۷۹] بازارهای سهام با طبیعتی دینامیک که ناشی از وجود ریسک‌های سیستماتیک و غیر سیستماتیک، بازیگران متعدد در صحنه داخلی و خارجی، شرایط اقتصاد جهانی و بی‌شمار عوامل دیگر که به طور لحظه ای در یک فضای چند بعدی و به طور تصادفی بر یکدیگر اثر گذارند، در شمار یکی از پیچیده‌ترین سیستم‌های موجود در اقتصاد به حساب می‌آیند.
برای تجزیه و تحلیل یک سیستم پیچیده مانند بازار سهام، می‌بایست به طرز کار اجزا و ارتباط آن ها با یکدیگر پی برد. لذا در این قسمت از مطالعه، به چگونگی به‌کارگیری دانش فیزیک آماری[۸۰] با توجه به مفاهیم اقتصادی جهت تجزیه و تحلیل سیستم پیچیده رفتار بازار سهام، پرداخته خواهد شد. باید توجه داشت که علاقه فیزیکدانان به اقتصاد اتفاقی نیست. به عنوان مثال برنولی[۸۱] که سهم زیادی در پیش برد نظریه آمار و احتمال در قرن هیجدهم داشته، مقاله های متعددی برای اندازه گیری و کمی کردن ریسک از خود بجای گذاشته است. همچنین محققین اقتصاد فیزیک دریافته‌اند که قانون توانی[۸۲] برای توصیف توزیع درآمد اغلب کشورها مناسب می‌باشد. این مسئله اولین بار توسط پرتو[۸۳] مورد توجه قرار گرفت. مسئله‌ی قابل توجه در مورد قوانین توانی این است که نمودار تابع توزیع آن دارای دنباله های کشیده تری نسبت به حالت نرمال می‌باشند. دلیل این امر به خاطر تفاوت زیاد بین گروه های مختلف است. مثلاً در بحث توزیع درآمد، تفاوت بسیار زیادی بین قشرهای بالای درآمدی و قشر های متوسط به پایین وجود دارد. این امر باعث خواهد شد که فرم تابع توزیع دارای حالت کشیدگی بیشتری نسبت به حالت نرمال داشته باشد.
از آنجا که پدیده های بازار حاصل فعل و انفعالات عوامل متعددی می‌باشد، از این رو ممکن است بتوان شباهت زیادی بین مکانیک آماری[۸۴] که در آن کنش‌های ذرات بر یکدیگر را مورد مطالعه قرار می‌گیرد و اقتصاد بازار یافت. بنابراین فیزیکدان‌ها به این اندیشه پرداخته‌اند شاید بتوان پدیده های موجود در بازار و فعل انفعالات بین آن ها را با بهره گرفتن از مدل‌های متداول در علم فیزیک، توضیح داد. در این تفکر بازار یک سیستم پیچیده تلقی می‌شود که محقق به دنبال یافتن قوانین تجربی‌ای است که بتواند این سیستم پیچیده را توضیح دهد. از جمله بازارهایی که مورد علاقه فیزیکدانان قرار گفته بازار سرمایه می‌باشد. این مطالعه به دنبال شناخت ویژگی‌های توزیعی شاخص قیمت سهام در بازار بورس ایران می باشد. برای این منظور از تابع توزیع کستینگ به عنوان تابعی کاربردی که محققان برای پیش بینی زلزله از آن می کنند، استفاده خواهد شد. مطالعه حاضر می کوشد برآوردی کاربردی از تابع توزیع کستینگ برای بازار سهام ایران انجام دهد.
۳-۳-۲-توزیع کولموگروف[۸۵]
در این بخش برای معرفی تابع توزیع کستینگ نیازمند ارائه مقدماتی و همچنین آشنایی با ابزارهای برآورد می‌باشد. با شروع بحث کولموگروف (۱۹۴۱) می توان مقدمات لازم را برای بیان تابع توزیع کستینگ بیان نمود. کولموگروف در نظریه ای که به نام خود وی شهرت دارد مطرح می‌کند که حرکت نوسانات انرژی به صورت آبشاری، با مقیاس بزرگ شروع می شود و سپس با نوسانات کوچک‌تر ادامه می‌یابد.
می توان این نوسانات را به وسیله تابع توزیع احتمال[۸۶] برای تغییرات طولی در فاصله مشخص کرد. بطوریکه تغییرات یک سری فرضی است که در فاصله تغییر می کند[۸۷]:
بنابراین سری جز تغییرات یک سری زمانی را شامل می شود. برای روند زدایی از یک سری می‌توان از روش هودریک پرسکات[۸۸] استفاده کرد.[۸۹]
کولموگروف و ابوخوف[۹۰](۱۹۶۲) فرض کردند یک توزیع لگاریتمی نرمال برای متغیر انحراف معیار وجود دارد. تمامی برآوردهای تجربی آن ها نیز این فرض را مورد تائید قرار داد. همچنین لاندا[۹۱](۱۹۴۴) در مطالعات خود پیشنهاد نمود که نوسانات در طول مسیر به ازای بردار نقش کلیدی را در نوسانات بازی می‌کند. می‌توان این نوسانات را در بازه به صورت زیر نشان داد:
کستینگ و همکاران[۹۲] برای یافتن توزیع غیر گوسی فرض نمودند که در زیر سیستم‌ها[۹۳]، مقادیر متفاوتی از وجود دارد. اما زیر سیستم‌ها دارای توابع توزیع احتمال گوسی می‌باشند. روش کستینگ بر مبنای تئوری بیزی استوار است. در ادامه به بررسی استنتاج بیزی پرداخته خواهد شد.
۳-۳-۳-استنتاج بیزی[۹۴]
استدلال بیزی روشی بر پایه احتمالات برای استنتاج کردن می باشد. اساس این روش بر این اصل استوار است که برای هر کمیتی یک توزیع احتمال وجود دارد که با مشاهده یک داده جدید و استدلال در مورد توزیع احتمال آن می‌توان تصمیمات بهینه ای اتخاذ کرد.
از ابتدای دهه نود روش‌های آماری بیزین و زنجیره مارکوف مونت‌کارلو[۹۵] به طور فزاینده ای در تحقیقات علوم مختلف مورد استفاده قرار گرفت این در حالی بود که رویکرد بیزین تا آن زمان بیشتر محتوای فلسفی و مفهومی داشت و استفاده از آن ها برای کارهای کاربردی، غیرعملی البته نه غیرممکن بود. این رویه با ورود روش‌های زنجیره مارکوف مونت‌کارلو که به محققان اجازه استفاده از شبیه سازی را می‌داد، تغییر کرد. در این بخش با بهره گیری از مطالعه مارتین[۹۶](۲۰۰۵) که با بهره گرفتن از مطالعه های جیل[۹۷](۲۰۰۲)، جلمن و همکاران[۹۸](۲۰۰۴) و جکمن[۹۹](۲۰۰۰)، روش بیزی را مورد بررسی قرار داده است، به طور مختصر چارچوب روش بیزی ارائه خواهد شد.
در رویکردهای معمول و سنتی برای استنتاج آماری فرض می‌شود، پارامترها ثابت و دارای مقادیر نامشخصی می‌باشند. تابع احتمال به صورت و یا به فرم نشان داده می‌شود. به طوریکه یک متغیر سری زمانی تصادفی به طول ( ) در نظر گرفته می‌شود. نیز برداری از پارامترهای نامعین( ) می باشد. نیز برداری از متغیرهای مستقل ( ) در نظر گرفته می‌شود.
با بهره گرفتن از برآوردگر حداکثر درست نمایی[۱۰۰] مقادیر پارامترها بدست خواهند آمد. تابع درست نمایی دارای نقش اساسی در رویکرد بیزی برای آنالیز داده‌ها می‌باشد. این روش از تابع چگالی مشترک به عنوان تابعی از پارامترهای ثابت و نامعلوم استفاده می‌کند. می توان فرم کلی تابع را به صورت زیر نشان داد.
برای حل تابع درست نمایی می بایست بر اساس داده های سری زمانی مشاهده شده، مقادیر پارامترها برآورد گردد. برای انجام استنتاج درباره پارامترها، با توجه به برآورد پارامترها از یک نمونه منحصر به فرد، می‌توان با توجه به فرم توزیع نمونه گیری اقدام به محاسبه خطای استاندارد، آزمون فرضیه، ساختن فواصل اطمینان و مواردی از این قبیل نمود.
هنگام استنتاج بیزی، فرض‌های بنیادی به مقدار زیادی تغییر خواهند کرد. به طوریکه بردار پارامترهای نامعلوم به عنوان متغیرهای تصادفی در نظر گرفته می‌شوند. درحالی‌که داده های سری زمانی به عنوان مقادیر ثابت و معلوم در نظر گرفته می‌شوند. پارامترها، با ماهیت احتمالی[۱۰۱] در نظر گرفته می شوند. در حالی که داده های مشاهده شده، به صورت از قبل معین[۱۰۲] در نظر گرفته می‌شوند. در واقع توزیع پارامتر بعد از مشاهده کردن سری به دست خواهد آمد. این توزیع پسین[۱۰۳] می‌تواند در چارچوب قضیه بیز به صورت بدست آید.
توزیع پسین یک توزیع شرطی از پارامترهاست که بعد از وقوع و مشاهده داده‌ها بدست می‌آید که در مقابل توزیع پیشین[۱۰۴]، یعنی شرایطی که توزیع قبل از مشاهده داده‌ها حاصل می‌گردد، می‌باشد. بنابراین توزیع پسین یک بیان فرضی احتمالی درباره مقادیر احتمالی پارامترها بعد از مشاهده کردن داده‌ها است. قضیه بیز مستقیماً از فروض اصلی تئوری احتمال پیروی می‌کند و برای ارتباط توزیع شرطی بین متغیرها استفاده می‌شود. تابع درست نمایی ارائه شده به وسیله مدل احتمال است. را اصطلاحاً توزیع پیشین می‌نامند. توزیع پیشین شامل تمام اطلاعات موجود درباره مقادیر پارامترها قبل از مشاهده داده‌ها است نیز شامل توزیع پیش بینی کننده پیشین[۱۰۵] است. به طوریکه می‌توان به صورت زیر نشان داد.
همچنین، رابطه برقرار می باشد.
در اصل توزیع پسین، تابع درستنمایی را به یک توزیع احتمال با پارامترهای نامشخص تبدیل می‌کند. این بدین مفهوم است که تابع درستنمایی می‌تواند به صورت هر توزیع احتمال دلخواهی برای استخراج پارامترهای مورد نظر، تبدیل گردد. دلیلی که این امر را ممکن می‌سازد، نتیجه فرض وجود اطلاعات پیشین در تحلیل‌ها است. به منظور انجام استنتاج بیزی احتیاج است که اطلاعات پیشین درباره دو پارامتر را در نظر بگیریم. این اطلاعات پیشین بر اساس صلاح دید تحلیل گر می‌تواند برای هر دوره زمانی معین در نظر گرفته شود.
براساس مباحث فوق کستینگ و همکاران[۱۰۶] جهت برآورد تابع توزیع احتمال غیرگوسی( )، با بهره گرفتن از تکنیک بیزی الگوی مورد نظرشان را ارائه کردند. در ادامه به طور مشخص به بررسی تابع توزیع کستینگ پرداخته خواهد شد.
۳-۳-۴-تابع توزیع کستینگ، گاگن و هوپفینگر[۱۰۷]
کستینگ و همکاران ابتدا در مطالعات تجربی به این نتیجه رسیدند که توزیع گوسی و به وسیله یک توزیع نرمال لگاریتمی قابل توصیف می‌باشد. برای بیان تغییر شکل توزیع از غیر گوسی در مقیاس‌های کوچک به گوسی در مقیاس‌های بزرگ، کستینگ و همکاران رابطه زیر را ارائه کردند[۱۰۸]:
تابع توزیع احتمال بنا به فرض و بر اساس تائید شواهد تجربی در معادله کستینگ دارای توزیع گوسی می‌باشد که به صورت زیر قابل نشان دادن است.
کولموگروف، ابوخوف و کستینگ، را دارای توزیع نرمال لگاریتمی به صورت زیر فرض نموده اند:
بطوری که انحراف معیار می‌باشند. در نهایت انتگرال رابطه زیر به عنوان فرم نهایی تابع توزیع کستینگ معرفی می‌شود:
فرم در حال بارگذاری ...
