وبلاگ

اگر يك نگاشت *-همومورفيسم باشد آن‌گاه مثبت است. زيرا اگر طبق قضيه 6-2-4 از [9]، وجود دارد كه پس :
لذا كاملاً مثبت است چون براي هر  يك نگاشت *-همومورفيسم است و مثبت.
گزاره 1-4-3 (قضيه نمايش اشتاين اسپرينگ^[1]): فرض كنيم A يك -جبر يكاني باشد و يك نگاشت كاملاً مثبت،آن‌گاه فضاي هيلبرت و *- همومورفيسم يكاني و عملگر كراندار موجودند به طوري كه :
اثبات: قضيه 1-4 از [13] .عکس این قضیه در ] 22 [اثبات شده و در ] 10[ قضیه 2 نیز بیان شده است.
اگر يكاني باشد، آن‌گاه، طولپا است. سه تایی را نمایش اشتاین اسپرینگ برای گوییم.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

تعریف 1-4-4: اگر یک نمایش اشتاین اسپرینگ برای باشد و فضای خطی بسته ی تولید شده توسط باشد. چون تحت پایاست پس تحدید به ، *-همومورفیسم را به صورت تعریف می کند به طوری که و . لذا یک نمایش اشتاین اسپرینگ است به طوری که دارای این شرط اضافی است که فضای خطی بسته ی تولید شده توسط می باشد. بنابر این اگر یک نمایش این شرط اضافی را داشته باشد که سه تایی را یک نمایش اشتاین اسپرینگ مینیمال گوییم.
گزاره 1-4-5: فرض كنيم يك -جبر و يك نگاشت كاملاً مثبت باشد و دو نمايش اشتاين اسپرينگ مينيمال براي باشند. آن‌گاه عملگر يكاني موجود است به طوري كه.
اين گزاره در واقع منحصر به فردی اين نمايش را نشان مي‌دهد.
اثبات: [13]، قضيه 2-4.
قضیه 1-4-6:فرض كنيم يك نگاشت خطي باشد آن‌گاه كاملاً مثبت است اگر براي هر ، نگاشت به شكل باشد در حالي‌كه .
اثبات: ]19 [، قضیه 1.
در]19[، یکتایی نمایش نیز نشان داده شده است.
تعریف 1-4-7: فرض کنیم یک عملگر خطی کراندار باشد که دو فضای توپولوژیک هستند و یک فضای برداری است. همچنین دو نگاشت باشند به طوری که . در این صورت گوییم یک عملگر پیچشی است. هم چنین این مفهوم وقتی که یک گروه یا یک جبر باشد و نمایش هایی از باشند، بر قرار است.
1-5 : حالت، حالت محض و حوزة عددي و ماتریسی يك عملگر :
تعريف 1-5-1: فرض كنيم يك زير فضاي خودالحاق از  جبر و شامل همانی I باشد. تابعك خطي را يك حالت گوييم هرگاه مثبت بوده و .
تعریف 1-5-2 :فرض كنيم يك حالت باشد. اگر يك نقطه فرين از مجموعه محدب باشد كه مجموعه همه حالت‌هاي است، گوييم يك حالت محض است.
در تعاريف زير فرض كنيم یک فضاي هيلبرت و يك عملگر خطي كراندار روي باشد.
تعريف 1-5-3: حوزه عددي عملگر به صورت، تعريف مي‌شود و شعاع عددي آن عبارتست از:
.
طبق قضيه 17-2 از [8]، براي فضاهاي متناهي البعد، مجموعه همه تصاوير تحت همة‌ نگاشت‌هاي يكاني مثبت از به اعداد مختلط است.
تعريف 1-5-4:‌ فرض كنيم يك جبر و باشد. برد ماتريسي را که با نشان مي‌دهيم به صورت زير تعريف مي‌شود:
يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است:
تعريف 1-5-6: فرض كنيم  يك حالت روي  - جبر باشد آن‌گاه:
1)  يك حالت محض است اگر و فقط اگر نمايش ، تحويل‌ناپذير است.
2) اگر A آبلي باشد آن‌گاه  يك حالت محض است اگر و فقط اگر  يك مشخصه روي باشد.
اثبات: قضيه 6-1-5از [17].
خاطر نشان مي‌كنيم كه طبق [17] اگر  يك حالت روي  - جبر A باشد ، نمايش يك به يك و بردار يكه موجود هستند که به طوری که :
در واقع و كامل شده است. نمایش را نمايش () گوييم. البته يك ضرب داخلي روي تعريف مي‌كند و اگر يك نمايش باشد و آن‌گاه يك بسط منحصر به فرد روي دارد.
فصل سوم
ساختار مجموعه‌هاي محدب C^* (C^*- محدب)
2-1: مجموعه‌هاي محدب :
تعريف 2-1-1: زيرمجموعه از -جبر يكاني را -محدب (يا محدب  ) گوييم هرگاه، جايي كه و براي همه  ها.
تعريف 2-1-2: مجموع‌ متناهي را تركيب محدب  و را ضرايب محدب  مي‌ناميم.
تعريف 2-1-3: فرض كنيم زير مجموعه جبر  يكاني باشد، غلاف  - محدب را كوچكترين مجموعه محدب  شامل تعريف مي‌كنيم و با نشان مي‌دهيم. در واقع :
حال اگر غلاف  -محدب را با نشان مي‌دهيم كه به صورت :
است.
تعريف 2-1-4: فرض كنيم يك جبر  يكاني باشد و . دو عملگر را هم‌ارز يكاني گوييم هرگاه يكاني موجود باشد به طوري كه و آن را با نشان مي‌دهيم.
تعريف 2-1-5: تركيب محدب را يك تركيب محدب  محض گوييم هرگاه ضرايب  - محدب ، معكوس پذير باشند.
تبصره 2-1-6: اگر يك مجموعه محدب  باشد آن‌گاه محدب نيز است.
اثبات:
فرض كنيم و كه و . چون بنابراين پس :
كه و . چون محدب  است لذا :
تبصره 2-1-7: اگر محدب  باشد و به طوري كه آن‌‌گاه.
اثبات:
فرض كنيم به طوري كه و و اگر پس يكاني موجود است كه يعني در نتيجه :